Diez formas de pensar y resolver un problema matemático

J. LÓPEZ GARCÍA / MADRID

Día 19/06/2013 - 12.43h

«Las matemáticas son difíciles, pero si piensas matemáticamente todo se simplifica», así se explica en el libro 'Cómo pensar como un matemático' del profesor Kevin Houston

1Cuestiónatelo todo

PIERRE BOUCHER

«Janine con lupa», obra de Pierre Boucher realizada en 1938

Una de las cosas más bellas de las matemáticas es que todo puede ser probado. No tienes que creerte todo lo que te digan. Si alguien dice que algo es verdad, tú puedes pedirle que lo demuestre. O mejor, si realmente quieres pensar como un matemático intenta probarlo tú mismo. Tu reacción siempre debe ser dudar e intentar encontrar un contraejemplo. Aunque al final el resultado sea cierto, el esfuerzo mental te ayudará a cuestionar otras afirmaciones en el futuro.

2Escribe con palabras tu problema

EPA

Manuscrito de Albert Einstein relativo a su Teoría de la Relatividad

¿Cómo puede ser que ponerme a escribir puede ayudarme a ser un buen matemático? —te estarás preguntando. Las frases son los ladrillos con los que construimos nuestros argumentos. Las matemáticas manejan argumentos para elaborar las demostraciones y probar las conjeturas. ¡No se trata de que te pongas a hacer cuentas como un loco! Muchos estudiantes no creen que esto sea necesario; suelen decir: «No me he matriculado en Matemáticas para escribir ensayos», o «¡pero si ya casi tengo la solución!». Si deseas comprender las matemáticas a fondo y pensar con claridad, escribir te obligará a cuidar tus argumentos. Si no eres capaz de describirlos, quizás sea por que no has comprendido el fondo del problema.

3¿...Y si fuera al revés?

M. C. ESCHER

«Cinta de Moebius», dibujo del artista holandés M. C. Escher

Los teoremas matemáticos se basan en la lógica. Son silogismos que aseguran que si A es verdad, entonces B también es verdad. Pero si damos la vuelta al argumento, estaríamos afirmando que si B es cierto, entonces A también sería cierto. Por ejemplo, si digo: «si soy español, entonces soy europeo», su inverso sería: «si soy europeo, entonces soy español». Un buen matemático, cuando está seguro de que A «es necesario» para B, siempre se preguntará si lo contrario también es cierto. En ocasiones será cierto y en otras no, como sucede en nuestro ejemplo anterior. De serlo, se dirá que B «es suficiente» para A.

4Utiliza la reducción al absurdo

ABC

René Descartes, precursor del uso de la lógica en las matemáticas y la filosofía

Lo contrario de la afirmación anterior de «si A es verdad, entonces B es verdad», implica que «si B es falso, entonces A es falso». Bueno, pues¡podemos estar seguros de la veracidad de esta última afirmación! Si le damos la vuelta otra vez, nos encontramos la primera afirmación y viceversa. En nuestro ejemplo, podríamos demostrar nuestra afirmación «si soy español, entonces soy europeo», por reducción al absurdo, comprobando que es cierta su contraria: «si no soy europeo, entonces no soy español». Una prueba habitual en los tests psicológicos, conocida como tarea de selección de Wason, se basa en este recurso y por cierto, los resultados entre los encuestados son bastantes pobres, ¡menos del 10% consiguen hacerlo bien!Mira aquí si tú podrías hacer el test correctamente.

5Lleva los ejemplos al extremo

ABC

Dos niños atraviesan las vías del ferrocarril

Una buena estrategia es pensar: ¿Qué sucedería si utilizo el número 0 ó el 1?, ¿Cómo se comportaría una recta o una circunferencia? ¿Y si uso un elemento trivial que siempre sea nulo? ¿Y si tomo el conjunto vacío? ¿O la secuencia 1, 1, 1, ...? Estos ejemplos te ayudarán a comprender mejor el problema.

6Crea tu propio mundo

EFE/KASPER

Un investigador piensa frente a una pizarra

Un matemático crea sus propios ejemplos, algunos serán normales, otros extremos y otros serán contraejemplos. Cuando conozcas el procedimiento de resolver un tipo de problemas, intenta ir más allá ybusca problemas similares que no puedan resolverse con ese método y sea necesario mejorarlo.

7Y si supongo que...

INTEF

Demostración del teorema de Pitágoras en el libro de los «Elementos» de Euclides

Comprender la demostración de un teorema puede llegar a ser difícil. No suelen explicarse los pormenores que justifican todos los pasos seguidos por el autor para llegar a las conclusiones o cómo fue descubierta la clave para alcanzar la solución. Es una de las cosas más difíciles a las que se enfrentan los matemáticos. Todos los teoremas dan por ciertas unas hipótesis iniciales. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras da por supuesto un ángulo de noventa grados dentro del triángulo. Estas presuposiciones serán usadas antes o después en el transcurso de la demostración (de lo contrario serían innecesarias). Por tanto, tienes que estar atento al momento en que se hace uso de ellas en el transcurso del desarrollo. Conociendo su estructura, no necesitarás memorizar sus conclusiones.

8Empieza por lo más complicado

AFP PHOTO

Participante en el Festival Internacional de Diseño de Berlín con una construción de «Lego»

Para probar que una igualdad es cierta, es mejor comenzar por el lado más complicado de los dos, intentar simplificarlo y reducirlo hasta llegar a la expresión del otro lado de la igualdad. Intentar partir de la ecuación completa, pasando de uno a otro miembro parte de los términos, sin darte cuenta podría llevarte a repetir en círculos los mismos pasos sin llegar a resolverla.

9¿Qué pasaría si...?

ABC

Dibujo de la escultura «El pensador» de Auguste Rodin

A los buenos matemáticos les gusta preguntarse: «¿Qué pasaría si, por ejemplo, prescindo de esta hipótesis?» Haciendo este experimento, podrás entender por qué un resultado es cierto o por qué se define de esa manera un elemento de la demostración. ¡Han aparecido nuevos y más elegantes teoremas a partir de condiciones iniciales más débiles que en el original! La idea es hacerse siempre nuevas preguntas.

10¡Explícate!

ISAAC NEWTON INSTITUTE

Jardín del Instituto de Ciencias Matemáticas «Isaac Newton» en Cambridge

Cuando Sir C. Zeeman fundó el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick, una de sus ideas para crear una atmósfera matemática en el centro fue la instalación de pizarras en los pasillos —y no sólo dentro de las aulas—, para que unos y otros pudieran explicar el trabajo que estaban realizando, favorecer la colaboración y contrastar los resultados. En el Instituto de Ciencias Matemáticas «Isaac Newton» de Cambridge, hay pizarras en los baños y en el ascensor, ¡qué sólo recorre dos plantas! Explicar a otros tus ideas contribuye a aclararlas y puedes aprender mucho con las sugerencias que ellos puedan aportarte o encontrar errores que de otro modo no verías. Busca a alguien con quien puedas hablar de tus problemas... matemáticos.